2-Cómo resolver la ecuación 20 − 7 x = 6 x − 6 20−7x=6x−6-kamacademi

 

Cómo resolver la ecuación $20-7x=6x-6$

Introducción

En este tutorial vamos a resolver paso a paso la ecuación:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">20</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">7</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}$$

El objetivo es despejar la $x$, es decir, dejarla sola a un lado de la igualdad. Para lograrlo, agruparemos los términos con $x$ de un lado y los términos constantes (los números sin $x$) del otro lado. Además, aplicaremos la regla fundamental de las ecuaciones: lo que se hace de un lado, también se hace del otro, para mantener la igualdad.

Al final, verificaremos la solución sustituyendo el valor encontrado en la ecuación original.

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1. Planteamiento de la ecuación

Partimos de:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">20</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">7</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}$$

Aquí tenemos:

• Términos constantes: $20$ y $-6$

• Términos con $x$: $-7x$ y $6x$

Una estrategia cómoda es dejar los términos con $x$ del lado izquierdo y los constantes del lado derecho. Pero podemos elegir cualquier lado; lo importante es mantener el equilibrio.

En este caso, seguiremos la preferencia de agrupar:

• Términos con $x$: lado izquierdo.

• Términos constantes: lado derecho.

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2. Eliminar el 20 del lado izquierdo

Para quitar el $20$ que está sumando en el lado izquierdo, restamos $20$ en ambos lados de la ecuación:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">20</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">7</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">20</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">20</span>}$$

Del lado izquierdo, $20-20=0$, así que se cancela y queda:

$$<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">7</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">20</span>}$$

Del lado derecho, combinamos $-6-20=-26$. Entonces:

$$<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">7</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">26</span>}$$

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3. Llevar todas las $x$ al lado izquierdo

Ahora queremos eliminar el $6x$ del lado derecho. Para eso, restamos $6x$ en ambos lados:

$$<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">7</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">26</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}$$

Del lado izquierdo: $-7x-6x=-13x$.
Del lado derecho: $6x-6x=0$, así que se cancela y queda $-26$.

Por lo tanto:

$$<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">13</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span><span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">26</span>}$$

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4. Despejar la $x$

Tenemos $-13x=-26$. Como $-13$ está multiplicando a $x$, dividimos ambos lados entre $-13$:

$$\frac{<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">13</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}}{<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">13</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\frac{<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">26</span>}}{<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">13</span>}}$$

Del lado izquierdo, $-13$ se cancela y queda $x$.
Del lado derecho, resolvemos la división:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\frac{<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">26</span>}}{<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">13</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}$$

Ya que menos entre menos es más, y $26÷13=2$.

Por lo tanto:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}$$

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5. Verificación de la solución

Sustituimos $x=2$ en la ecuación original:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">20</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">7</span>}<span\; style="font-size:\; large;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">)</span><span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}<span\; style="font-size:\; large;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">)</span><span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}$$

Calculamos el lado izquierdo:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">20</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">14</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}$$

Calculamos el lado derecho:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">12</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}$$

Ambos lados son iguales a $6$. Por lo tanto:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}$$

La solución es correcta.

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6. Resumen de pasos

1. Ecuación inicial:

   $$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">20</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">7</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}$$

2. Restar 20 a ambos lados:

   $$<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">7</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">26</span>}$$

3. Restar 6x a ambos lados:

   $$<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">13</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span><span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">26</span>}$$

4. Dividir entre -13:

   $$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}$$

5. Verificar:

   $$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">20</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">7</span>}<span\; style="font-size:\; large;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">)</span><span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}<span\; style="font-size:\; large;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">)</span><span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}<span\; style="font-size:\; large;">\Rightarrow </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">6</span>}$$

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7. Conclusión

La solución de la ecuación es:

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}}$$

Resolver ecuaciones es como mantener una balanza equilibrada: cualquier operación que se aplique a un lado debe aplicarse también al otro. Siguiendo estos pasos, hemos despejado la incógnita y comprobado que el resultado es correcto.

Recuerda: siempre puedes verificar tu solución sustituyendo el valor de $x$ en la ecuación original. Esa es una de las grandes ventajas del álgebra