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Cómo resolver una ecuación más elaborada (2x + 3 = 5x − 2)

Introducción

En este tutorial vamos a resolver una ecuación que, a primera vista, puede parecer desalentadora:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">5</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}$$

Tenemos la incógnita $x$ en ambos lados de la ecuación, además de números que se suman y se restan. Sin embargo, el objetivo es siempre el mismo: despejar la $x$, es decir, dejarla sola a un lado de la igualdad. Cuando logramos escribir algo como $x=\text{algo}$, hemos resuelto la ecuación. Después podemos sustituir ese valor en la ecuación original para verificar que la solución es correcta.

Lo importante no es memorizar una lista interminable de reglas, sino entender que resolver una ecuación es aplicar operaciones válidas a ambos lados para ir simplificando. La visualización que haremos ahora sirve para comprender qué está pasando, aunque normalmente basta con trabajar algebraicamente.

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1. Visualicemos la ecuación

Para entender mejor, representemos cada término.

• $2x$ significa $x+x$.

• $2x+3$ significa $x+x+1+1+1$.

• $5x$ significa $x+x+x+x+x$.

• $5x-2$ significa $5x$ menos $1+1$.

Entonces:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">5</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}$$

se puede ver como:

• Lado izquierdo: dos $x$ (naranjas) más 3 unidades.

• Lado derecho: cinco $x$ menos 2 unidades (que podemos representar en rosa como $-1-1$).

Esta visualización no es obligatoria para resolver, pero ayuda a ver por qué las operaciones que haremos tienen sentido.

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2. Llevar las $x$ a un solo lado

Queremos que todas las $x$ queden de un solo lado. Hay dos caminos válidos:

1. Restar $2x$ a ambos lados.

2. Restar $5x$ a ambos lados.

Ambos llevan a la misma solución. Empecemos restando $2x$ a ambos lados.

Restar $2x$ a ambos lados

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">5</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}$$

Del lado izquierdo, $2x-2x=0$, así que queda:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">5</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}$$

Del lado derecho, $5x-2x=3x$. Por lo tanto:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}$$

Ya tenemos las $x$ solamente del lado derecho.

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3. Deshacernos del término constante

Ahora queremos dejar sola la $3x$. Para eso, eliminamos el $-2$ que acompaña a $3x$. Como $-2$ está restando, sumamos $2$ a ambos lados:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}<span\; style="font-size:\; large;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}$$

Del lado izquierdo: $3+2=5$.
Del lado derecho: $-2+2=0$, así que queda $3x$.

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">5</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}$$

Esta ecuación es mucho más sencilla: $5$ es igual a $3x$.

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4. Despejar la $x$

Como $x$ está multiplicada por $3$, dividimos ambos lados entre $3$:

$$\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">5</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}$$

Del lado derecho, $3$ se cancela y queda $x$. Por lo tanto:

$$\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">5</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}$$

O lo que es lo mismo:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">5</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}$$

También podemos escribir la solución como número mixto:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">1</span>}\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}$$

Porque $5÷3=1$ y sobran $2$.

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5. Verificación (tarea sugerida)

Sustituye $x=\frac{5}{3}$ en la ecuación original:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}<span\; style="font-size:\; large;">(</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">5</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">)</span><span\; style="font-size:\; large;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">5</span>}<span\; style="font-size:\; large;">(</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">5</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">)</span><span\; style="font-size:\; large;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}$$

Calcula ambos lados:

• Izquierdo: $\frac{10}{3}+3=\frac{10}{3}+\frac{9}{3}=\frac{19}{3}$

• Derecho: $\frac{25}{3}-2=\frac{25}{3}-\frac{6}{3}=\frac{19}{3}$

Ambos lados son iguales, así que la solución es correcta.

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6. Visualización de la división entre 3

Para entender por qué $x=1\frac{2}{3}$, podemos imaginar que tenemos 5 cuadrados (que representan el número 5) y queremos repartirlos en 3 grupos iguales.

• Cada grupo debe tener $1$ entero y $2\mathrm{/}3$.

• Un grupo: 1 entero + $2\mathrm{/}3$.

• Otro grupo: $1\mathrm{/}3+1\mathrm{/}3+1$ entero = $1$ entero $2\mathrm{/}3$.

• El último grupo: $2\mathrm{/}3+1$ entero = $1$ entero $2\mathrm{/}3$.

Así, 5 dividido entre 3 da $1\frac{2}{3}$ en cada grupo. Del lado derecho, las $3x$ se dividen en 3 grupos de una $x$ cada uno. Por eso:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">1</span>}\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}$$

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7. Resumen de pasos

1. Plantea la ecuación: $2x+3=5x-2$

2. Lleva las $x$ a un solo lado: resta $2x$ a ambos lados → $3=3x-2$

3. Elimina el término constante: suma $2$ a ambos lados → $5=3x$

4. Despeja $x$: divide entre $3$ → $x=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}$

5. Verifica: sustituye en la ecuación original.

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8. Conclusión

Resolver ecuaciones es como mantener una balanza equilibrada: cualquier operación que hagas de un lado, debes hacerla también del otro. No se trata de seguir reglas misteriosas, sino de usar el sentido común para ir simplificando hasta dejar sola la incógnita.

En este caso, la solución fue:

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">x</span>}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">5</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}<span\; style="font-size:\; large;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">1</span>}\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">2</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; large;">3</span>}}}}$$

Y recuerda: siempre puedes comprobar tu respuesta sustituyendo el valor de $x$ en la ecuación original