La idea central-grafica derivada
La idea central-grafica derivada
Si la función te dice cuánto hay, la derivada te dice qué tan rápido cambia.
Graficar la derivada es dibujar esa rapidez de cambio en cada punto.
📊 Qué se pone en los ejes
Para la función original:
Eje x → la entrada
Eje y → el valor de f(x)
Para la derivada:
Eje x → la misma entrada
Eje y → el valor de f'(x) (la pendiente)
👉 Se grafica en el mismo eje x, pero lo que sube o baja ahora es la pendiente, no el valor original.
🚗 Ejemplo 1: el carro a velocidad constante
f(t) = 80t (distancia) f'(t) = 80 (velocidad)
Gráfica de f(t): una recta que sube.
Gráfica de f'(t): una línea horizontal en y = 80.
👉 Porque la velocidad no cambia: siempre es 80.
| t | f(t) | f'(t) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 80 |
| 1 | 80 | 80 |
| 2 | 160 | 80 |
| 3 | 240 | 80 |
🏃 Ejemplo 2: el carro que acelera
f(t) = 5t² (distancia) f'(t) = 10t (velocidad)
Gráfica de f(t): una curva que sube cada vez más rápido.
Gráfica de f'(t): una recta que sube.
| t | f(t) | f'(t) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 5 | 10 |
| 2 | 20 | 20 |
| 3 | 45 | 30 |
👉 La derivada crece: cada vez vas más rápido. Eso se ve como una recta ascendente.
🧊 Ejemplo 3: el hielo derritiéndose
f(t) = 500 − 10t (peso) f'(t) = −10 (rapidez de derretimiento)
Gráfica de f(t): una recta que baja.
Gráfica de f'(t): una línea horizontal en y = −10 (por debajo del eje x).
👉 El signo negativo se ve como una línea debajo del cero.
📈 Ejemplo 4: la parábola (muy ilustrativo)
f(x) = x² f'(x) = 2x
Gráfica de f(x): una U (parábola).
Gráfica de f'(x): una recta que pasa por el origen y sube.
| x | f(x) | f'(x) |
|---|---|---|
| −2 | 4 | −4 |
| −1 | 1 | −2 |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 2 |
| 2 | 4 | 4 |
Lo interesante:
Cuando x < 0 → f'(x) es negativa → la parábola baja.
Cuando x = 0 → f'(x) = 0 → la parábola está plana (mínimo).
Cuando x > 0 → f'(x) es positiva → la parábola sube.
👉 La gráfica de la derivada te dice dónde sube y dónde baja la función original.
🧠 La conexión visual más importante
| En la función original... | En la gráfica de la derivada... |
|---|---|
| Sube 📈 | Está por encima del eje x (positiva) |
| Baja 📉 | Está por debajo del eje x (negativa) |
| Está plana (máximo/mínimo) | Cruza el eje x (vale 0) |
| Sube muy rápido | Valor grande |
| Sube lento | Valor pequeño |
🎯 Resumen
Función: se grafica el valor (cuánto hay).
Derivada: se grafica la pendiente (qué tan rápido cambia).
Se usan los mismos ejes x, pero el eje y cambia de significado.
La gráfica de la derivada te dice dónde sube, dónde baja y dónde se detiene la función original.
🔍 ¿Para qué sirve graficar la derivada?
Ver la velocidad de cambio de un vistazo.
Saber si algo crece o decrece.
Encontrar máximos y mínimos (donde la derivada cruza el cero).
Analizar tendencias en economía, física, biología, etc.
✏️ Mini ejercicio
Si f(x) = 3x + 1:
¿Cuál es su derivada?
¿Cómo se vería la gráfica de la función?
¿Cómo se vería la gráfica de la derivada?
Pista: la función es una recta que sube. La derivada es un número fijo.
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