4-LEYES DE LOS EXPONENTES 👉Parte 1-MATEMATICAS SUPER EXPLICADAS
https://www.youtube.com/watch?v=dCAOg8Q624I&list=PLqz6SP918zpXGnDmNvn75zznzefN9cl7e&index=5
LEYES DE LOS EXPONENTES 👉 Parte 1
🎯 Introducción: ¿Qué es una potencia?
Si sabes cómo se resuelve esta expresión, entonces sí puedes ver este video:
5³Tenemos este 5 elevado a la tercera potencia, es decir, al cubo. Eso significa que el 5 se va a multiplicar por sí mismo tres veces:
5 × 5 × 5 = 125💡 Importante:
El número que está elevado (el 5) se llama base.
El numerito que está arriba (el 3) se llama exponente.
El exponente nos indica cuántas veces se multiplica por sí misma la base.
Si ya dominas estos conceptos, entonces sí puedes ver las leyes de los exponentes.
🔹 LEY 1: Multiplicación de potencias con la misma base
📌 ¿Qué pasa cuando multiplicamos potencias de la misma base?
Supongamos que tenemos:
x⁴Eso significa que la x está multiplicándose por sí misma cuatro veces:
x · x · x · x📝 Nota: En álgebra, el signo de "por" (×) ya no se usa. Se usa un puntito (·) o paréntesis para indicar multiplicación.
🧩 Ejemplo: x² · x³
Si separamos por partes:
x² = x · xx³ = x · x · x
Entonces:
x² · x³ = (x · x) · (x · x · x) = x · x · x · x · x = x⁵Todo parece indicar que sumamos la cantidad de x que teníamos. O en pocas palabras, sumamos el 2 con el 3.
✅ LEY 1:
Si tenemos una base elevada a la potencia m, multiplicada por la misma base elevada a la potencia n, el resultado es la base elevada a la suma de esas potencias.
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ⚠️ Mucho ojo: Esto solamente se cumple si estamos hablando de la misma base.
📝 Ejemplos:
| Expresión | Desarrollo | Resultado |
|---|---|---|
5² · 5⁵ | 5²⁺⁵ | 5⁷ |
y³ · y⁴ | y³⁺⁴ | y⁷ |
m² · m³ | m²⁺³ | m⁵ |
a³ · a⁵ | a³⁺⁵ | a⁸ |
b² · b | b²⁺¹ | b³ |
💡 Recuerda: Cuando una literal no tiene exponente, se asume que su exponente es 1.
🧩 Caso especial: x · y³ · y²
Hay una x atravesada, pero la ley de exponentes se aplica solamente para las bases iguales (en este caso, la y). A la x no le hacemos caso; queda igual.
x · y³ · y² = x · y³⁺² = x · y⁵🧩 Exponentes negativos: z³ · z⁻¹
Aquí no hay ningún problema. Aplicamos la ley:
z³ · z⁻¹ = z³⁺⁽⁻¹⁾ = z³⁻¹ = z²📝 Ley de signos: más por menos = menos.
🔹 LEY 2: Potencia de una potencia
📌 ¿Qué pasa si una potencia está elevada a otra potencia?
Ejemplo:
(y³)²Vamos a asumir que esta sería la base (la y³ completa) y se va a elevar al cuadrado. Es decir, se va a multiplicar por sí misma dos veces:
y³ · y³No hace falta poner los paréntesis. Como aquí se convirtió en una multiplicación de bases iguales, los exponentes se suman:
y³ · y³ = y³⁺³ = y⁶Y aquí es muy fácil razonar que, como este exponente indica las veces que se multiplica la base por sí misma, todo se resuelve multiplicando ese exponente por el otro que está allá adentro:
2 × 3 = 6✅ LEY 2:
Cuando se tiene una base elevada a una potencia m, y todo eso todavía elevado a otra potencia n, el resultado es la base elevada a m por n.
(aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ⚠️ Recuerda: Esta ley se aplica cuando tienes exponente elevado a otro exponente. Aquí se multiplican los exponentes (¡no se suman como en la Ley 1!).
📝 Ejemplos:
| Expresión | Desarrollo | Resultado |
|---|---|---|
(5²)² | 5²·² | 5⁴ |
(x³)² | x³·² | x⁶ |
(y⁴)⁵ | y⁴·⁵ | y²⁰ |
(a·b²)³ | a¹·³ · b²·³ | a³b⁶ |
(x²·y³)⁴ | x²·⁴ · y³·⁴ | x⁸y¹² |
💡 Caso especial: Cuando hay dos o más literales dentro del paréntesis, el exponente se aplica a todas las literales.
Si una literal no tiene exponente, se asume que es 1.
🔹 LEY 3: División de potencias con la misma base
📌 ¿Qué pasa cuando divides un número entre sí mismo?
5 ÷ 5 = 1
12 ÷ 12 = 1
4.8 ÷ 4.8 = 1¿Y cuánto es x ÷ x? Pues asumiendo que x es un número cualquiera (podría ser 5, 12 o 4.8), siempre es 1.
✅ Siempre que divides una literal entre sí misma, el resultado es 1.
🧩 Ejemplo: y³ ÷ y²
Si desarrollamos:
y³ y · y · y
─── = ───────────
y² y · yAl dividir, se van cancelando:
Una
yde arriba con unayde abajo → da 1Otra
yde arriba con otrayde abajo → da 1
Nos quedaría: 1 · 1 · y = y
📝 Cuidado: Luego dicen que "nada más cancelan esta con esta". En realidad, se está dividiendo y da 1. Pero el 1 al multiplicarse por las otras y que están ahí no las altera, porque el 1 es neutro multiplicativo.
El resultado final fue y¹. Es como si se hubieran restado el 3 con el 2.
✅ LEY 3:
Cuando divides cantidades con bases iguales, los exponentes se restan. Siempre al exponente de arriba se le resta el de abajo.
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ📝 Ejemplos:
| Expresión | Desarrollo | Resultado |
|---|---|---|
a⁵ ÷ a² | a⁵⁻² | a³ |
b³ ÷ b | b³⁻¹ | b² |
m⁶ ÷ m⁴ | m⁶⁻⁴ | m² |
x³ ÷ x | x³⁻¹ | x² |
m³n² ÷ mn | m³⁻¹ · n²⁻¹ | m²n |
💡 Recuerda: Cuando una literal no tiene exponente, se asume que es 1.
🔹 LEY 4: Exponente cero
📌 ¿Qué pasa si los dos exponentes son iguales?
Si las dos cantidades son idénticas:
n⁵ ÷ n⁵Como ya hemos visto, cuando dividimos una cantidad entre sí misma, el resultado es 1. Pero si aplicamos la ley de exponentes:
n⁵⁻⁵ = n⁰Y como esta cantidad es la misma que está acá, este resultado tiene que ser el mismo que está ahí.
🧩 Comprobación con números:
2³ ÷ 2³Desarrollando:
2³ = 8, entonces8 ÷ 8 = 1Aplicando ley:
2³⁻³ = 2⁰
Por lo tanto: 2⁰ = 1
✅ LEY 4:
Cualquier cantidad elevada a la cero potencia es 1.
a⁰ = 1⚠️ ¡No lo olvides! Cualquier cantidad elevada a la 0 potencia nos va a dar siempre 1.
📝 Ejemplos:
| Expresión | Resultado |
|---|---|
17⁰ | 1 |
(xy²)⁰ | 1 |
5⁰ | 1 |
m⁰ | 1 |
🔹 LEY 5: Exponentes negativos
📌 ¿Qué pasa si el exponente de abajo es mayor que el de arriba?
Ejemplo:
y² ÷ y⁴Aplicando la ley de exponentes:
y²⁻⁴ = y⁻²Así podría quedar, pero en matemáticas siempre se trata de que los exponentes no sean negativos.
🧩 Desarrollo:
y² y · y
─── = ───────────
y⁴ y · y · y · yDividiendo:
yentrey= 1yentrey= 1
Queda:
1
─────────
y · yEso es 1 / y².
✅ LEY 5:
Cualquier base elevada a un exponente negativo se puede expresar como 1 sobre esa base, pero ahora elevada a un exponente positivo.
a⁻ⁿ = 1 / aⁿ📝 Regla: Cuando tengas un exponente negativo, lo vas a invertir como si este fuera una fracción, y se le cambia el signo al exponente.
📝 Ejemplos:
| Expresión | Equivalente |
|---|---|
y⁻⁴ | 1 / y⁴ |
x⁻¹ | 1 / x |
b⁻⁵ | 1 / b⁵ |
m⁻³ | 1 / m³ |
📊 Resumen de las 5 leyes
| # | Ley | Fórmula |
|---|---|---|
| 1 | Multiplicación de potencias con misma base | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ |
| 2 | Potencia de una potencia | (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ |
| 3 | División de potencias con misma base | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ |
| 4 | Exponente cero | a⁰ = 1 |
| 5 | Exponente negativo | a⁻ⁿ = 1 / aⁿ |
🧠 Tips para no confundirse
| Situación | ¿Qué se hace? |
|---|---|
| Misma base, multiplicación | Se suman los exponentes |
| Misma base, división | Se restan los exponentes |
| Potencia de potencia | Se multiplican los exponentes |
| Exponente 0 | Siempre da 1 |
| Exponente negativo | Se invierte y cambia el signo |
💡 No te confundas:
Ley 1: se suman exponentes
Ley 2: se multiplican exponentes
Ley 3: se restan exponentes
✅ Conclusión
Con estas primeras cinco leyes de exponentes damos por terminado este tutorial. Hay más leyes, sí las hay, un poquito más complejas, que veremos más adelante.
📌 Por lo pronto: Memoriza estas leyes y aplícalas en tus prácticas.
¿Te gustaría que continúe con la Parte 2 de las leyes de los exponentes
Comentarios
Publicar un comentario